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微分方程xDy%yDx=y^2Dy的通解

有个简单的解法: xdy-ydx=y^2dy变形:(xdy-ydx)/y^2=dy 由于:d(x/y)=(ydx-xdy)/y^2 故:d(x/y)=-dy 通解为:x/y=-y+C 或:x=y(C-y)

dy/dx=-x/y 即ydy=-xdx 两边积分 ∫ydy=∫-xdx 所以y²/2=(-x²+C)/2 y²=-x²+C 所以y=√(C-x²)

dy/dx=-x/(y√(1-x^2 )) ydy=-xdx/√(1-x^2) dy^2=2d(1-x^2)/2√(1-x^2) dy^2=2d√(1-x^2) y^2=2√(1-x^2)+C y=√[2√(1-x^2)+C]

微分方程只看y的微分的最高阶, 这里dy/dx就是y', 只是一阶微分,因此是一阶微分方程。 y'²这一项最高微分项仍然只是y'.

xdx+xy^2dx+ydy+x^2ydy=0 dx^2/2+y^2dx^2/2+dy^2/2+x^2dy^2/2=0 d(x^2+y^2)/2+d(x^2y^2)/2=0 所以通解:x^2+y^2+x^2y^2=c

x(dx/dy)-y-√(x^2+y^2)=0,除以y:(x/y)(dx/dy)-1-√((x/y)^2+1)=0令x/y=u,代入:u(u+yu')=√(u^2+1)+1yu'=(√(u^2+1)+1)/u-u=(√(u^2+1)+1-u^2)/uudu/(√(u^2+1)+1-u^2)=dy/ydu^2/(√(u^2+1)+1-u^2)=2dy/y积分∫dt/(√(t+1)+1-t)可令√(t+1)=z化成有理分...

乘以 2 得 2ydy=2xdx ,积分得 y^2=x^2+C 。 微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程,其解是常数值。 微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理...

dy/dx=(x^3+y^2)/(2xy) 2xy*dy-(x^3+y^2)*dx=0 方程两边同时乘以积分因子:1/(x^2),得: [(2y)/x]*dy-(x+y^2/x^2)*dx=0 d(y^2/x^2-(x^2)/2)=0 方程的通解为: (y^2)/(x^2)-(x^2)/2=C

通过添项化成全微分方程 过程如下图:

y'² = 1 - y² y' = √(1-y²) 或 y' = -√(1-y²) 当 y' = √(1-y²) = dy/dx 时: dy/√(1-y²) = dx 方程两边同时积分,可以得到: arcsiny = x + C 注:C 为一常数 则 y = sin(x+C) 当 y' = -√(1-y²) = dy/dx 时...

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