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DxDy ρDρDθ

并不是dxdy=ρdρdθ,而是将积分区域从直角坐标系积分区域变成了极坐标积分区域。 微元dρ长度的弧长为ρdθ,微元面积为近似长方形面积(ρdθ)*dρ

坐标系变换,教材里面有公式,如下图:

二重积分中的极坐标转换为直角坐标,只要把被积函数中的ρcosθ,ρsinθ分别换成x,y。并把极坐标系中的面积元素ρdρdθ换成直角坐标系中的面积元素dxdy。 即: ρcosθ=x ρsinθ=y ρdρdθ=dxdy

按照几何意义,这就是区域D的面积值。 由于是极坐标形式,所以直接用极坐标的方法来解答 ∫∫Ddxdy=∫∫Dρdρdθ,=∫(0,π)dθ∫(0,asinθ)ρdρ, 剩下的计算就简单了吧,答案是:πa*a/4

因为 dxdy=pdpdθ

∫(D)∫ln(1+x^2+y^2)dxdy D:x^2+y^2=1与 两坐标所围成的位于第一象限内的闭区 ρ=1,θ从0,到π/2 dS=ρdθdρ ∫(D)∫ln(1+x^2+y^2)dxdy =∫[0,1]∫[0,π/2]ln(1+ρ^2) ρdθdρ =∫[0,1]ln(1+ρ^2) ρdρ∫[0,π/2]dθ =(π/4)∫[0,1]ln(1+ρ^2)d(1+ρ^2) ∫lnxdx=xlnx-x+C...

∫∫(x^2+ y^2)^(-2)dxdy D是(x-1)^2+ y^2=1内且x≥1的部分 =2∫[0,π/4]dθ∫[1/cosθ,2cosθ](ρ^2)^(-2)ρdρ =2∫[0,π/4]dθ∫[1/cosθ,2cosθ]ρ^(-3)dρ =-∫[0,π/4]ρ^(-2)|[1/cosθ,2cosθ]dθ =∫[0,π/4][(cosθ)^2)-1/4(cosθ)^(-2)]dθ =1/2∫[0,π/4](1+cos2θ)dθ-1...

转化为极坐标形式 x=pcosθ y=psinθ ∫[0→2π]dθ∫[0→√π/2]cos(π/4)pdp=∫[0→2π] [(√2π)/16]dθ =(√2/8)π²

解:∫∫f(x,y)dxdy=∫dθ∫f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ.

解:设x=ρcosθ,y=ρsinθ,则D={(ρ,θ)丨0≤ρ

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