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yDx xDy x 2 y 2 Dx

令y=xu 则y'=u+xu' x(u+xu')-xu=√(x²+x²u²) xu'=√(1+u²) du/√(1+u²)=dx/x 积分:ln(u+√(1+u²))=ln|x|+C1 得u+√(1+u²)=Cx 即y²+√(x²+y²)=Cx²

令y=xu 则y'=u+xu' x(u+xu')-xu=√(x²+x²u²) xu'=√(1+u²) du/√(1+u²)=dx/x 积分:ln(u+√(1+u²))=ln|x|+C1 得u+√(1+u²)=Cx 即y²+√(x²+y²)=Cx²

有个简单的解法: xdy-ydx=y^2dy变形:(xdy-ydx)/y^2=dy 由于:d(x/y)=(ydx-xdy)/y^2 故:d(x/y)=-dy 通解为:x/y=-y+C 或:x=y(C-y)

你算一下d(x/y),就会发现d(x/y)=(ydx-xdy)/y^2……

(ydx-xdy)/(x^2+y^2) = y/(x^2+y^2) dx - x/(x^2+y^2) dy 假设该函数存在, 令该函数 = f(x) = z , 则 dz/dx = y/(x^2+y^2) 1/y dz = 1/(x^2+y^2) dx z/y = 1/y arctan (x/y) + C1(y) z1 =arctan (x/y) + y* C1(y) 同理,dz/dy = -x /(x^2+y^2) z2...

方法为格林公式,但是注意原来的被积函数在L围成的区域中包含奇点(0,0),所以需要补上曲线L1以挖空奇点,参考解法:

xdy = -2ydx dy/y = -2dx/x lny = -2lnx + lnC y = C/x^2 yx^2 = C y(2) = 1 代人,得 C = 4 则 yx^2 = 4

解:把圆的方程x²+y²=1改写成参数方程:x=cost,y=sint,dx=-sintdt,dy=costdt. 那么圆的面积S=(1/2)∮xdy-ydx=(1/2)∫‹0,2π›(cos²t+sin²t)dt=(1/2)∫‹0,2π›dt=(1/2)t︱‹0,2π›=π 故∮x...

因为l是算得空白部分

同除以xy dy/y=dx/x lny=lnx+c y=Ce^x

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